Números complexos: para que servem?
Os números complexos são uma matéria vista no 3º ano do Ensino Médio ou no Ensino Superior. Fazendo com que o grau de conhecimento agregado dos estudantes seja alto. Além de serem importantes para qualquer candidato que queira passar em um concurso militar.
Aprender não é fácil. É necessário que o estudante tenha diversos conhecimentos matemáticos prévios para entender os conceitos dos números complexos.
Os números complexos surgiram devido à necessidade de resolver equações raízes de números negativos.
O conjunto dos números reais só permite raiz de números positivos. O que acabava fazendo com que esse tipo de número não tivesse uma solução prevista na matemática ou não fosse possível antes do surgimento do conjunto dos complexos.
Confira neste artigo tudo o que você precisa saber sobre os números complexos, como representá-los, qual sua função, e muito mais!
Conjuntos de números complexos e sua história
O estudo dos números complexos vem sendo feito desde 1572, em que o cientista Rafael Bombelli tentou resolver equações de segundo grau. Ele acabou se deparando com uma em que a descriminante era negativa.
Então, ele acabou constatando que não fazia sentido calcular a raiz quadrada de um número negativo, pois a sua conta oposta é a exponenciação ao quadrado. Independe do sinal da base, ter um expoente par sempre resulta positivo
Por isso, a única maneira de se ter um resultado negativo ao realizar a multiplicação de dois valores é se ambos forem opostos como o caso de 1 e -1.
E com isso, não era possível que os valores se enquadrassem nos conceitos de exponencial e raiz, Isso porque eles acabam levando em consideração multiplicações de números entre eles mesmos (números iguais).
Assim, Rafael precisou atribuir valores imaginários e decompor o número, ainda utilizando a ideia de fator comum.
No período, nenhum tipo de operação matemática desse tipo havia sido realizada, portanto, acabou recebendo um outro nome de “raiz não real”. Ao decompor o número, sempre resta uma raiz real seguida de sua multiplicação pelo “√– 1”, por isso, acabaram decidindo chamar o √– 1 de “i”.
Assim, chega-se à forma algébrica definida para os números complexos de z = a + bi. Nos casos acima o “a” vale 0, o “b” seria o resultado da raiz real e o “i” indica que na verdade veio de uma raiz não real, negativa. Somente no final do século XVIII que Gauss chamou esse conjunto de números como “Números Complexos”.
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Qual é a forma algébrica dos números complexos?
Ao se realizar a resolução de uma equação de 2º grau como x² = –25, pelos números reais e convencionais que estamos acostumados a visualizar, a solução pode parecer impossível.
Mas como tudo na matemática possui uma resposta perfeita, houve a tentativa de algebrizar esses resultados, possibilitando operações com números complexos ainda que não seja possível ter uma resposta da raiz quadrada de um número negativo.
Para determinar a forma algébrica, usou a letra i, bastante conhecida como uma unidade imaginária de um número complexo. Sendo ele representado por: z = a + bi.
Se a parte real do número for nula, temos que o número é imaginário puro. Dessa forma, quando determinada parte imaginária é nula, logo o número complexo é número real.
Formas de representação dos números complexos
3 formas representam números complexos:
A forma algébrica (z = a + bi): composto por uma parte real e parte imaginária b;
forma geométrica: representada no plano complexo conhecido também como plano de Argand-Gauss;
Uma forma trigonométrica/polar: forma de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiações.
Os números complexos acabaram tendo essas diversas representações para poderem ser feitas as mais variadas operações matemáticas com eles como é o caso da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e muito mais.
No caso da representação geométrica dos planos dos complexos, é possível inclusive medir a distância de um ponto que representa o número complexo até a origem.
Necessidade dos números complexos
Sempre na história da matemática, novas descobertas foram surgindo em função da necessidade de se resolver um problema quando apresentado.
No caso dos números complexos eles surgiram em 1572 pela necessidade de resolução de uma operação. Época bem tardia se compararmos a outras descobertas da matemática.
Os conjuntos numéricos surgiram da necessidade em agrupar números de características semelhantes para que pudessem ser trabalhados em diversos problemas matemáticos. A criação desses conjuntos e sua aplicação ou novas categorizações é muito comum. Isso aconteceu com diversos conjuntos como o surgimento dos naturais, reais, inteiros, racionais, irracionais etc. que podem ter surgido desde 4.000 a.C.
Dessa forma, o surgimento dos números complexos e seu conjunto se deu com a necessidade de ampliação dos conjuntos de números reais para tentar resolver equações de segundo grau e suas raízes quadradas de números negativos.
Para que servem os números complexos?
Os números complexos acabam sendo muito estranhos para nós por fugir da lógica comum das operações de adição, subtração, radiciação, exponenciação, divisão ou multiplicação.
Mesmo com a prova de sua existência, no mundo real e matemático é preciso de um esforço maior para imaginar sua aplicação. Já que normalmente utilizamos números comuns para medir quantidades, tamanhos, contar, etc.
No entanto, é preciso lembrar que existem coisas em nossa realidade que os números que podemos imaginar acabam não medindo perfeitamente.
Como é o caso de um campo eletromagnético, que por possuir uma componente elétrica e outra magnética, então precisa de um par de números para conseguir descrevê-la.
Em nossa rotina já é mais difícil de ver eles sendo aplicados, mas ele possui diversas aplicações indiretas. Em suma, exemplos como algumas propriedades de números reais que só acabaram se tornando conhecidas em função de serem vistas como parte do Conjunto dos Números Complexos.